جميع قوانين التفاضل في الرياضيات مع الشرح والصيغ الرياضية للصف الثاني عشر

جميع قوانين التفاضل في الرياضيات 

التفاضل هو أحد أهم فروع الرياضيات في حساب التفاضل والتكامل، ويستخدم في دراسة معدل التغير وتحليل المنحنيات. في هذا المقال سنعرض لك جميع قوانين التفاضل الأساسية والمتقدمة مكتوبة بصيغة رياضية احترافية مع البسط والمقام لسهولة المراجعة والفهم، مما يساعد الطلاب والمعلمين على الوصول إلى المعلومة بسرعة ووضوح.

أولاً: قوانين التفاضل الأساسية

1. إذا كانت \( c \) عدد ثابت: \(\frac{d}{dx}(c) = 0\)

2. إذا كانت \( x \) هو المتغير: \(\frac{d}{dx}(x) = 1\)

قاعدة القوة: إذا كانت \( n \) عدد حقيقي: \[ \frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1} \]

تفاضل المجموع والفرق: \[ \frac{d}{dx}(u \pm v) = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx} \]

قاعدة الضرب: \[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \]

قاعدة القسمة: \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \quad v \neq 0 \]

قاعدة السلسلة: إذا كانت \( y = f(g(x)) \): \[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

ثانياً: تفاضل الدوال المثلثية

\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] \[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] \[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \] \[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \] \[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \cdot \tan x \] \[ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cdot \cot x \]

ثالثاً: تفاضل الدوال العكسية المثلثية

\[ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \] \[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} \] \[ \frac{d}{dx}(\arccot x) = -\frac{1}{1+x^2} \] \[ \frac{d}{dx}(\arcsec x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \] \[ \frac{d}{dx}(\arccsc x) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} \]

رابعاً: تفاضل الدوال الأسية واللوغاريتمية

\[ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \] \[ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \] \[ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \] \[ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \]

خامساً: قوانين خاصة

إذا كانت \( y = u^n \): \[ \frac{dy}{dx} = n u^{n-1} \cdot u' \] إذا كانت \( y = e^{u} \): \[ \frac{dy}{dx} = e^u \cdot u' \] إذا كانت \( y = \ln u \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} \]

أمثلة توضيحية